II SEMANA DA MATEMÁTICA - CEVP

I SEMANA DA MATEMÁTICA - CEVP

GeoGebra - Fractal - Triângulo de Sierpinski

O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele e uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tandos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante; não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado. Foi primeiramente escrito por Waclaw Sierpinski(1882 - 1969), matemático polonês.

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FONTE:TRIÂNGULO DE SIERPINSKI. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia Foundation, 2013. Disponível em: . Acesso em: 28 dez. 2013.
Prof. Cristiano Marques, 27 Dezembro 2013, criado com o GeoGebra

PROJETO

GEOGEBRA: MATEMÁTICA POR OUTRO ÂNGULO

Professor Cristiano Marques

FRACTAL

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-euclidiana. Ageometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais.

A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes, na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia, matemática e outras.

Os fractais foram nomeados - ao invés de descobertos ou inventados - no início dos anos 80 por Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais", para classificar certos objetos intrincados que não possuem dimensão inteira (1, 2 ou 3) mas sim fracionária (dimensão 1,85 por exemplo).

Outra vista do conjunto de Mandelbrot..

Uma primeira definição, pelo próprio Mandelbrot, diz: - "Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica". No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria: auto-semelhança e complexidade infinita.

Distante do rigor e do formalismo matemático pode-se definir Fractais, como nos ensinam alguns estudiosos da área: "Objetos que apresentam auto-semelhança e complexidade infinita, ou seja, têm sempre cópias aproximadas de si mesmo em seu interior."

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não pode ser utilizada as geometrias tradicionais. "Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta." - Benoit Mandelbrot.

Uma animação com uma fractal que modela a superfície de uma montanha  

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da natureza.

A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.

Floco de neve de Koch 

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Kock snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Fonte: Wikipédia;

matematica.com.br

Rodrigo Siqueira - Grupo Fractarte

TEORIA DO CAOS

Muitos fenômenos não podiam ser previstos por leis matemáticas. Os fenômenos ditos "caóticos" são aqueles onde não há previsibilidade. Por exemplo: o gotejar de uma torneira; nunca se sabe a frequência com que as gotas de água caem e não podemos determinar uma equação que possa descrevê-la. As variações climáticas e as oscilações da bolsa de valores também são caóticos. Atualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do Caos surgiu com o objectivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na Natureza. 

    Nas últimas décadas, depois de um árduo trabalho, matemáticos e físicos elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje  sabe-se muito a respeito de fenômenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados. Por exemplo, em 1997, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever aplicações financeiras e com isso ganharam o Prêmio Nobel da Economia. O caos tem aplicações em todas as áreas.

    Uma lei básica da Teoria do Caos afirma que a evolução de um sistema dinâmico depende crucialmente das suas condições iniciais. O comportamento do sistema dependerá então da sua situação "de início". Se analisarmos o mesmo sistema, sob outras condições iniciais, logicamente ele assumirá outros caminhos e  mostrar-se-á totalmente diferente do anterior.

    EXEMPLOS DE CAOS NA VIDA QUOTIDIANA:

• O trânsito é outro exemplo.  Já observou que há dias em que o congestionamento é maior. É bem provável que o transtorno tenha sido causado por um carro acidentado, ou uma empresa dispensou os seus funcionários mais cedo e houve um fluxo maior num cruzamento e outros azares semelhantes. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

• Um exemplo tradicional é o "Efeito Borboleta", que diz essencialmente: "uma borboleta bate asas na China e causa um furacão na América" , por mais absurdo que pareça, é a realidade, os fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade.

•  Já reparou nas formas do litoral e nas ilhas? Umas são alongadas, outras circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas. São como Fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas e resultaram num formato padrão. Será que existem ilhas quadradas?

•     Muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que na natureza existem também fenômenos simples como a queda de um objeto, o som, o movimento dos astros, etc. Nem tudo é caótico. Quando falamos num sistema complexo não nos estamos a referir somente à complexidade operacional, mas também à complexidade de elementos (as subtilezas do meio em que se passa e a pluralidade de variáveis).

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt

Benefícios do Xadrez

Alguns benefícios do xadrez :

• Desenvolvimento do raciocínio matemático
• Maior habilidade na comunicação
• Aumento da criatividade
• Aumento da concentração
• Treina o pensamento crítico
• Aumento da memória
• Maior maturidade intelectual
• Aumento da auto-confiança
• Análise de consequências
• Ajuda nas decisões complexas
• Reconhecimento de padrões torna-se mais fácil
• Ajuda a lidar com situações não esperadas
• Aumento da disciplina
• Responsabilidade pelas ações

Alguns benefícios do xadrez já são conhecidos desde a idade média, contudo só recentemente se tem estudado os seus efeitos na adolescência onde pode ter impactos significativos na cognição e desenvolvimento da aprendizagem. Inclusive há cada vez mais colégios e escolas em Portugal a oferecerem xadrez como disciplina obrigatória.

Mesmo assim não julgue que ao jogar xadrez apenas por umas semanas o vai tornar num Einstein. Grande parte dos estudos efetuados apontam para alguns anos até começar a surtir um efeito gradual.

Uma das grandes vantagens do xadrez, é o seu investimento inicial quase nulo, um tabuleiro e umas peças é tudo quanto basta durante uns bons anos (ou décadas). Devido a esta característica é que os países subdesenvolvidos são o alvo predileto para expandir este belíssimo jogo e ajudar a desviar as crianças do mundo da criminalidade. A FIDE tem tido um grande papel neste aspecto tentando unir esforços para criar clubes e organizações em torno do xadrez em zonas mais problemáticas do nosso planeta.

Mesmo assim e apesar das recentes descobertas, a razão primária para jogar xadrez deve ser por divertimento. A diversão em aprender algo novo, jogar e estar com os nossos familiares e amigos. Tudo o resto é bônus extra.

Fonte: www.xadrezpt.com

Planilha Dinâmica II - GEOGEBRA Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endereço http://www.java.com/pt_BR Utilize o mouse para selecionar e mover os pontos encontrados nas retas. Autor: Prof. Cristiano Marques, criado com o GeoGebra

Caricatura Prof. Cristiano Marques

GEOGEBRA

Ciclo Trigonométrico Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endereço http://www.java.com/pt_BR Experimente mexer no ponto branco e verifique os gráficos das funções trigonométricas. Autor: Prof. Cristiano Marques, criado com o GeoGebra