GEOGEBRA

Ciclo Trigonométrico Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endereço http://www.java.com/pt_BR Experimente mexer no ponto branco e verifique os gráficos das funções trigonométricas. Autor: Prof. Cristiano Marques, criado com o GeoGebra

Números Simpáticos

Um número inteiro "n" é simpático quando existem inteiros positivos, a, b e c tais que

a < b < c e n =  a² + b² - c² .

^{Por exemplo, os números 1, 2, e 3 são simpáticos, pois:}

• 1 = 4² + 7² - 8²
• 2 = 5² + 11² - 12²
• 3 = 4² + 6² - 7²

Agora é com você.

A) Mostre que o número 4 é simpático.

B) Verifique que (3x + 1)² + (4x + 2)² - (5x + 2)² e igual a 2x + 1, qual quer que seja x.

C) Encontre números inteiros m e n tais que (3x - m) + (4x - n) - (5x - 5) = 2x qualquer que seja x.

D) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.

Fonte: OBMEP 2009 - 2ª fase

O que acha de ALCANÇAR 101%?

De um ponto de vista estritamente matemático:

O que é igual a 100%?
O que significa dar MAIS que 100%? 

Já pensou sobre aquelas pessoas que dizem estar dando mais do que 100%?

Todos já estivemos em situações em que alguém quer que você DÊ MAIS DO QUE 100%. 

O que acha de ALCANÇAR 101%?

O que se iguala a 100% na vida?

Aqui está uma pequena fórmula matemática que pode ajudar a responder a essas perguntas: 

SE:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

for representado como:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.

SE:

H-A-R-D-W-O-R- K (trabalho duro)

8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%

e:

K-N-O-W-L-E-D-G-E (conhecimento)

11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%

Mas:

A-T-T-I-T-U-D-E(atitude)

1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%

ENTÃO, veja onde o amor de Deus o levará: 

L-O-V-E-O-F-G-O-D(amor de Deus)

12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101%

Portanto, pode-se concluir com certeza matemática que:

Enquanto Trabalho Duro  e Conhecimento o levarão perto e

      Atitude o levará até lá,  é  o amor

      de DEUS que o colocará no topo!

Outra forma de calcular potências

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n² é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.

Exemplo:

5² = 1+3+5+7+9 = 25
6² = 1+3+5+7+9+11 = 36
7² = 1+3+5+7+9+11+13 = 49

Data histórica

20/02 de 2002

Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.

Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Nicolai Lobachevsky (1793-1856)

"Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real."

CEVP

GABARITO - FÍSICA 8º ANO "A" e "B"

1. A
2. A
3. D
4. B
5. a) Não há flechas com mesmo sentido.
b) A e C                    c) A e C
6. C
7. B
8. a) 1N         b) 8N
9. D
10. 20m

Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci

Sequência é todo conjunto ou grupo no qual seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. 
Exemplos:
a) (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência dos números pares.
b) (1, 3, 5, 7, 9, 11,...) é a sequência dos números ímpares.
c) (0, 5, 10, 15, 20, 25,...) é a sequência dos múltiplos de 5.

As sequências são classificadas em: finita ou infinita. Em uma sequência numérica, o primeiro termo é representado por a₁, o segundo termo por a₂, o terceiro termo por a₃, e assim sucessivamente. Em uma sequência numérica finita o último termo é representado por a_n. A letra n indica a quantidade de termos da sequência ou a posição de cada termo.

Muitas sequências são “geradas” de observações do cotidiano. Uma dessas sequências, muito famosa, presente em vários filmes de ficção como O Código Da Vinci (Buena Vista, 2006), é a sequência de Fibonacci. 

Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1170-1250), um famoso matemático italiano, criou a sequência que leva seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo dos seguintes pressupostos:

1. No primeiro mês nasce somente um casal;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;

Com essas condições, inicia-se a construção da sequência:

No 1º mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4º mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais.

Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
 

Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa sequência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Vejamos:

O 6º termo da sequência é 8. Somando os dois termos anteriores 5+3 =8.

Assim, 89 é o termo que virá após 55, pois 34+55=89.

Dessa forma, para determinar o próximo basta fazer 89 + 55 = 144, e assim por diante.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática.
Equipe Brasil Escola

www.brasilescola.com

Atividade Complementar

Exercício complementar 8º ano.

Conjuntos [ BAIXAR]

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS) - GEOGEBRA